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BCBGMAXAZRIAビーシービージーマックスアズリアヘップバーン風ワンピース">微分形式の引き戻し2 で,引き戻しを微分形式に適用することを考えます.

まず,『全微分は座標系によらない』という話から始めましょう.このことは XIMAPEX">外微分 で勉強しましたが,例えば関数 fxyz デカルト座標系で表現しても, r\theta \phi 球座標系で表現しても全微分は同じでした.

df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \\&= \frac{\partial f}{\partial r}dr + \frac{\partial f}{\partial \theta }d\theta + \frac{\partial f}{\partial \phi}d\phi    \tag{1}

ただし,このような二種類の表現が出来るというのは, (x,y,z)(r,\theta ,\phi ) の間に 滑らかな座標変換が定義されている からです.普通のデカルト座標と球座標ならば,次式の変換を考えることが出来ます.

x = r \cos \theta \sin \phi    \tag{2-1}
y = r \sin \theta \sin \phi    \tag{2-2}
z = r \cos \phi        \tag{2-3}
[*] 先ほど,『滑らかな座標変換』と書きましたが,変換のヤコビアンが退化しないためには,少なくとも C^{1} 級の関数が必要です.普通は,何回でも微分できる座標変換が望まれます.『え!?無限回も微分しちゃっていいの?』と思う人がいるかも知れませんが,もし微分の回数に制限があったら,式 (2-1)(2-2)(2-3) のような座標変換を考えられません.(三角関数は何回でも微分できますよね.)無限回微分できるような関数を,数学では C^{\infty} 級関数と呼びます.無限という言葉にどうしても抵抗を覚える人は,『必要なだけ微分できる』と思っておけば良いです.実際に無限回も微分することはあまりないと思います.
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系の世界から, (r,\theta ,\phi )
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前セクションでは,デカルト座標系 (x,y,z) から,球座標系 (r, \theta , \phi) への座標変換という,物理でもお馴染みの例を考えました.ここでは,特定の座標系の形は忘れて,最初の座標系を (x_{1},x_{2},x_{3}) と書くことにします.これを,異なる三次元の座標系 ({x'}_{1},{x'}_{2},{x'}_{3}) に移したのでは面白くないので,二次元の座標系 (u,v) に写像することを考えて見ましょう.『え!?違う次元にしちゃっていいの?』と思う人がいるかも知れませんが, (x_{1},x_{2},x_{3}) を次式のように表現できれば,ちゃんと写像があるという意味ですから,いいんです.

x_{1} = x_{2} (u,v)    \tag{3-1}
x_{2} = x_{2} (u,v)    \tag{3-2}
x_{3} = x_{3} (u,v)    \tag{3-3}
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この座標変換のヤコビ行列は 2 \times 3 行列の形になります.

\left(     \begin{array}{ccccc}du \\dv \\     \end{array}   \right)=   \left(     \begin{array}{ccccc}\frac{\partial u}{\partial x_{1}}  &  \frac{\partial u}{\partial x_{2}} &\frac{\partial u}{\partial x_{3}} \\   \frac{\partial v}{\partial x_{1}}  &  \frac{\partial v}{\partial x_{2}} & \frac{\partial v}{\partial x_{3}} \\     \end{array}   \right)   \left(     \begin{array}{ccccc}dx_{1} \\dx_{2} \\dx_{3}       \end{array}   \right)        \tag{4}

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三次元を二次元に写像する場合というのは,例えば (x,y,z) 空間内の立体図形に光を当て, uv 平面に影を映す様子を想像すれば了解できると思います.

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[†] ただし,上図のようなイメージだけでは,ちょうど光線と平行になった直線が, (4) のヤコビアンの階数が 2 である(退化していない)ことが,写像の条件になっています.直観的な理解のために,乱暴な絵を描きましたが,数式の要点も,しっかり理解して下さい.

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前セクションの逆で,今度は,二次元 (x_{1},x_{2}) で考えていたものを,三次元 (u,v,w) に移すことだって出来ます.もちろん,十分に滑らかな(できれば C^{\infty} 級の)写像があることを想定しています.この座標変換のヤコビ行列は 3 \times 2 行列の形になります.

\left(     \begin{array}{ccccc}du \\dv \\dw \\       \end{array}   \right)=   \left(     \begin{array}{ccccc}\frac{\partial u}{\partial x_{1}}  &  \frac{\partial u}{\partial x_{2}} \\   \frac{\partial v}{\partial x_{1}}  &  \frac{\partial v}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial w}{\partial x_{3}}  &  \frac{\partial w}{\partial x_{3}} \\     \end{array}   \right)   \left(     \begin{array}{ccccc}dx_{1} \\dx_{2} \\       \end{array}   \right)   \tag{5}

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のヤコビアンの階数が退化せず, 2 であることが必要(そして重要)です.

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(y_{1},y_{2},...,y_{n}) に変換する( m 次元→ n 次元)場合を考えます.この座標変換を表わす写像を \phi と書きましょう.(さっきの例の球面座標の角度 \phi とは関係ありません.念のため.)

y_{1} = \phi_{1} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
y_{2} = \phi_{2} (x_{1},x_{2},...,x_{m})
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y_{n} = \phi_{n} (x_{1},x_{2},...,x_{m})       \tag{6}

ここで,『変数 (x_{1},x_{2},...,x_{m}) の世界』と『変数 (y_{1},y_{2},...,y_{n}) の世界』は,簡単のためそれぞれ MN で表わすことにします. \phi は,この二つの世界を結ぶ写像です.

[§] もし多様体の概念を知っている人は,この MN は多様体だと思ってください.ここで考えている話題は,多様体間の写像です.
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さて,いきなりですが, N 上で定義される,ある関数 f を考えましょう. f によって実数が一つ決まるとすると, f は次のような写像であると考えられます.

f(y_{1},y_{2},....,y_{n}) \in R

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f: \ N \ \ \rightarrow  \ \ R

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さっきの図に,この写像を書き足してみます.

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こう書いてみると, M から R へ直接行く写像も欲しくなりますね♪ そんな写像だってあるはずですから,これを関数 g と書きましょう. g は, g: \ M \ \ \rightarrow  \ \ R という写像で, g(x_{1},x_{2},....,x_{m}) \in R となるはずです.

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さて,基本的に g(x_{1},x_{2},...,x_{m})f(y_{1},y_{2},...,y_{n}) は写像 \phi を介して,同じ値になるはずです.(回り道しても,行き先は一緒ですよね.)つまり,次式が言えます.

g(x_{1},x_{2},...,x_{m}) &= f(y_{1},y_{2},...,y_{n}) \\ & = f(\phi_{1}(x_{i}),\phi_{2}(x_{i}),...,\phi_{n}(x_{i}))  \ \ \ (i=1,2,...,m)        \tag{7}

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両辺を見比べて,関数 g は, \phif の合成写像であることが分かります.合成写像は,記号 \circ を使って示すことにします.

g = f \circ \phi     \tag{8}

この g を, f引き戻し ( \text{pull back} )と呼びます.変な名前ですが,元来, N 上で(変数 y_{j} のために)定義されていた関数 f が, x_{i}y_{j} に移す写像 \phi を使うことで, M 上の関数 g に移されたということです.ここで本質的に働いているのは, \phi だけですね.恐らく,『写像 \phi : \ M \rightarrow N が,逆に N 上の関数 fM 上に引っ張ってきた』というイメージで,引き戻しと命名されているのだと思います.引き戻しを決めるのは \phi だけですから, \phi によって一意的に決まる写像 \phi ^{*} を使って, g= \phi ^{*} f のように書いても良いでしょう.つまり, \phi ^{*}N 上の 関数を M 上の 関数に 移す写像です.

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theorem
変数の写像 \phi: \ M \rightarrow N によって, N 上の関数は M 上に引き戻されます.

[¶] 注意しておきますが, \phi ^{*}\phi の逆写像ではありません.なんだか紛らわしいですが,別の写像です.『 \phi によって決まるよ』という意味を込めて,似た顔つきをしていますが,変数の写像と関数の写像は少し違うものだからです.既にはっきりと書いたのですが, \phi ^{*} の正体は式 (8) で表わされる合成写像です.
[#] (7) を見れば明らかなように,写像 \phi: \ M \rightarrow N をそのまま N 上の関数 f に代入することで, g を得ています.変数と関数の変換の向きが一見逆( M \rightarrow NN \rightarrow M か)なので,これを気持ち悪く感じている人がいると思いますが,ではそんな人のために,変数の写像 \phi: \ M \rightarrow N によって, M 上の関数もやはり N 上に定義する(仮に『押しやり』( \text{push forward} )と呼びましょう)ことが出来るか考えてみましょう.式 (7) を見れば明らかですが,押しやりを定義するには, \phi の逆写像 \phi ^{-1} が存在することが必要十分条件になります.( \phi ^{-1} さえ存在していれば, g\phi ^{-1}(x_{i}) を代入して f(y_{j}) を得ることが出来ますね.)ここまでの議論で, \phi